Lũy thừa là gì? Lũy thừa của một tích và Lũy thừa của lũy thừa

Khái niệm lũy thừa là gì? 

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có b thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là a^b, đọc là lũy thừa bậc b của a hay a mũ b, số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.

Phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn. Lũy thừa có nghĩa là "nhân chồng chất lên".

Đặc biệt:

a² còn gọi là “a bình phương”.

a³ còn gọi là “a lập phương”.

I. Kiến thức cần nhớ về Luỹ thừa

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

- Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

aⁿ = a.a…..a (n thừa số a) (n khác 0)

- Trong đó: a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

- Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

a^m . aⁿ = a^m+n

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

- Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

a^m : aⁿ = a^m-n (a ≠ 0, m ≥ 0)

4. Lũy thừa của lũy thừa

(a^m )ⁿ = a^m+n

- Ví dụ : (2² )⁴ = 2^2.4 = 2⁸

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số

a^m . b^m = (a.b)^m

- Ví dụ : 3³ . 2³ = (3.2)³ = 6³

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

a^m : b^m = (a : b)^m

- Ví dụ : 6⁴ : 3⁴ = (6 : 3)⁴ = 2⁴

7. Một vài quy ước

1ⁿ = 1; a⁰ = 1

- Ví dụ : 1²⁰²⁰ = 1 ; 2020⁰ = 1

8. Lũy thừa của 0 và 1

0^m = 0

1^m = 1

So sánh hai lũy thừa cùng số mũ

• Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn:

a > b ⇒ aⁿ > bⁿ (n > 0)

Ví dụ: So sánh  4⁵ và  6⁵

Ta thấy 2 số trên có cùng số mũ là 5 và 4 < 6 ⇒ 4⁵ < 6⁵

Ngoài ra, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.

a < b thì ac < bc (c>0)

Ví dụ: So sánh 32¹⁰ và 16¹⁵, số nào lớn hơn.

Ta thấy các cơ số 32 và 16 khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa  32¹⁰ và 16¹⁵ về lũy thừa cùng cơ số 2.

32¹⁰ = (2⁵)¹⁰ = 2⁵⁰

16¹⁵ = (2⁴)¹⁵= 2⁶⁰

Vì 2⁵⁰ < 2⁶⁰ ⇒ 32¹⁰ < 16¹⁵

Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa 

Tuy sách giáo khoa không trình bày cách tính các căn và lũy thừa của một số nhưng trong thực tế đa số các học sinh đều sử dụng một trong các loại máy CASIO fx-500 hoặc fx-570 (MS hoặc ES/ ES Plus). Dưới đây là giới thiệu vắn tắt cách tính thông qua một số ví dụ để các bạn tiện sử dụng:

Tính căn của một số

Vào mode tính toán bằng cách ấn các phím MODE,1. Sau đó nhập số cần lấy căn kết thúc nhấn phím = ta được kết quả. Với căn bậc hai và căn bậc ba thì không cần nhập chỉ số căn, với các căn bậc bốn trở lên thì cần nhập chỉ số căn (các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS,  Casio fx-580VN X, nhập chỉ số căn ấn các phím SHIFT, x√x máy CASIO fx-570MS ấn các phím SHIFT, □√◻ nhập chỉ số ▹▹, sau đó nhập số cần lấy căn cuối cùng ấn phím = để được kết quả.

Ví dụ 1:  Để tính  (sau khi đã vào mode), ấn các phím √, 2, 3, ., 4, 2, 5, = . Màn hình hiện thị kết quả   4,839938016. Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy được kết quả là 4,8399.

Ví dụ 2:  Tính

• Các máy CASIO fx- 500 MS và CASIO fx-570 MS, ấn liên tiếp các phím 7, SHIFT,√, 3, 2, 0, = màn hình hiện kết quả 2,279704562 Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy ta được kết quả ≈2,2797.

– Với máy CASIO fx-570 ES, ấn liên tiếp các phím SHIFT, √, 7, ▹▹, 3, 2, 0,=. cũng sẽ nhận được kết quả như trên