Trực tâm là gì? Các tính chất của trực tâm của một hình tam giác

Trực tâm tam giác, định nghĩa có thể bạn đã biết nhưng về lưu ý, tính chất, ứng dụng trong các bài tập bạn đã rõ hết chưa ? Cùng theo dõi bài viết và tìm hiểu nhé, mong chúng sẽ giúp ích cho việc giải bài tập của bạn.

Tìm hiểu về trực tâm tam giác là gì?

Trước tiên, cần biết về đường cao của tam giác là gì?

1. Đường cao tam giác: 

Định nghĩa: Đường cao của một tam giác chính là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao.

Ví dụ: AH là 1 đường cao của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC đối diện.

Trực tâm là gì?

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

Ví dụ: Điểm S là trực tâm của tam giác LMN hình trên.

Ngoài ra, còn một số điểm cần chú ý trong các bài tập như:
Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trọng tâm của tam giác.
Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

Trực tâm trong những loại tam giác đặc biệt:

Tam giác vuông: trực tâm sẽ   trùng với đỉnh góc vuông 
Giải thích: vì mỗi cạnh góc vuông của tam giác chính là đường cao cua tam giác nên 2 cạnh góc vuông và đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cắt nhau tại đỉnh góc vuông.

Tam giác tù: trực tâm của nằm ngoài tam giác.

 Nếu tam giác ABC có 
góc A tù 
=> BC là cạnh lớn nhất
=> BC > BA
Kẻ đường cao BL ta có hình chiếu của BA,BC là  LA; LC 
 => LA < LC
=> A nằm giữa L và C tức đường cao BL nằm ngoài tam giác ABC
Cũng như vậy ta chứng minh được đường cao CK nằm ngoài tam giác ABC
Suy ra, giao điểm 3 đường cao nằm ngoài tam giác ABC
góc B tù (chứng mình tương tự)
góc C tù (chứng mình tương tự)

Tam giác đều: đặc biệt cần chú ý

Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Một số tính chất liên quan đến trực tâm ứng dụng nhiều trong các bài toán:

Mối quan hệ giữa trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài tập: Cho O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của △ABC. Chứng minh rằng O, H, G cùng thuộc một đường thẳng (được gọi là đường thẳng Euler của △ABC) và GH = 2GO.
Giải

Chứng minh:
Cách 1:
Vẽ OM ⊥ BC, ON ⊥ AC
Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC (đ/lí đường kính vuông góc dây cung)
⇒ MN là đường trung bình của △ABC
⇒ MN // AB
⇒ NMCˆ=ABCˆ, MNCˆ=BACˆ
OMNˆ+NMCˆ=900, HABˆ+ABCˆ=900, NMCˆ=ABCˆ
⇒ OMNˆ=HABˆ
ONMˆ+MNCˆ=900, ABHˆ+BACˆ=900, MNCˆ=BACˆ
⇒ ONMˆ=ABHˆ
△OMN và △HAB có: OMNˆ=HABˆ (cmt), ONMˆ=ABHˆ (cmt)
⇒ △OMN ∼ △HAB (g – g)
⇒ OMHA=MNAB=12
⇒ OM=12HA
Gọi G’ là giao điểm của AM và OH
OM // AH ⇒ G′MG′A=OMHA=12
⇒ G’ là trọng tâm của △ABC
⇒ G’ ≡ G
Vậy H, G, O thẳng hàng và GOGH=OMHA=12

Cách 2:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ đường kính AD.
Ta có: ACDˆ=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ CD ⊥ AC
mà BH ⊥ AC
⇒ BH // CD
Tương tự, CH // BD
BHCD là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song)
mà M là trung điểm của BC
⇒ M là trung điểm HD
△ABC có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BC), G là trọng tâm
⇒ G ∈ AM và AG=23AM
△AHD có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm HD), G ∈ AM và AG=23AM
⇒ G là trọng tâm của △AHD
mà HO là đường trung tuyến của △AHD
⇒ G ∈ HO và GH = 2GO
 Vậy O, H, G cùng thuộc một đường thẳng và GH = 2GO

Tính chất được phát biểu thành lời như sau: Trong một tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác là 3 điểm thẳng hàng.Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến cạnh nối hai đỉnh còn lại”

Xác định trực tâm khi biết tọa độ 3 đỉnh của 1 tam giác trong mặt phẳng Oxy

Bài tập: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) .Xác định trọng tâm G, trực tâm H  và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:

Tìm trực tâm H
Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC

Tìm trực tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I(x; y). Tính AI2= (x – x1)2 + (y –y1)2     BI2 = (x – x2)2 + (y – y2)2    CI2 = (x – x3)2 + (y – y3)2. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Û AI = BI = CI.
Giải hệ trên tìm x; y.

Một số bài tập tự luyện tìm trực tâm của tam giác:

Bài 1: Cho tam giác  với trực tâm . Chứng minh rằng các điểm đối xứng với  qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn .

Bài 2: Cho tam giác  nhọn, trực tâm . Gọi  lần lượt là các đường cao của tam giác  ( là chân đường cao). Gọi  lần lượt là tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ  đến đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Chứng minh rằng  thẳng hàng.

Bài 3. Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) và C(–2 ;–1) .
a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hàng.
Chúc các bạn có thể hiểu rõ về trực tâm của tam giác và hãy làm các bài tập tự luyện trên nhé! Một lưu ý nhỏ, các bạn nên nhớ các tính chất để sau dễ dàng trong việc giải toán hơn.